Ads banner

JE Banner Ads
Image 2

অনুশীলনী 2.2 - বহুপদ - অধ্যায় 2 - গণিত - দশম শ্ৰেণী

Jahan Education

"Jahan Education" লৈ আপোনাক স্বাগতম, আজি আমাৰ গণিত বিশেষজ্ঞ :-)

👩‍🏫 J.A.C (B.Sc Honours | Web/App Developer.)

দশম শ্ৰেণীৰ গণিতৰ অনুশীলনী 2.2 -ৰ step by step সম্পূৰ্ণ সমাধান দিব। আপুনি শৈক্ষিক সফলতাৰ বাবে চেষ্টা কৰা শিক্ষাৰ্থী হওঁক বা আপোনাৰ ছাত্ৰ-ছাত্ৰীৰ বাবে ব্যাপক সমাধান বিচৰা শিক্ষক হওঁক, we've got you covered.

ইয়াত, অনুশীলনী 2.2 -ৰ প্ৰতিটো প্ৰশ্নৰ সমাধান লিখি দিয়া হ ল :
অনুশীলনী 2.2

1. তলৰ দ্বিঘাত বহুপদবোৰৰ শূন্য উলিওৱা আৰু এই শূন্যবোৰ আৰু সহগবোৰৰ মাজৰ সম্পৰ্ক সত্যাপন কৰা।

(i) \(x^2-2x-8\)

উত্তৰ :

\(x^2-2x-8\)

\(=x^2-(4-2)x-8\)

\(=x^2-4x+2x-8\)

\(=x(x-4)+2(x-4)\)

\(=(x+2)(x-4)\)

\(\therefore x+2=0 , x-4=0\)

\(\Rightarrow x=-2 , x=4\)

সত্যাপন :

ইয়াত,

\(a=1\)

\(b=-2\)

\(c=-8\)

\(α=-2\)

\(β=4\)

আমি জানো,

\(\alpha+\beta=-\frac{b}{a}\)

\(\Rightarrow -2+4=-\frac{-2}{1}\)

\(\Rightarrow 2=\frac{2}{1}\)

\(\Rightarrow 2=2\)

আকৌ,

\(\alpha \times \beta = \frac{c}{a}\)

\(\Rightarrow -2 \times 4 = -\frac{8}{1}\)

\(\Rightarrow -8=-8\)


(ii) \(4s^2-4s+1\)

উত্তৰ :

\(4s^2-4s+1\)

\(=4s^2-(2+2)s+1\)

\(=4s^2-2s-2s+1\)

\(=2s(2s-1)-1(2s-1)\)

\(=(2s-1)(2s-1)\)

\(\therefore 2s-1=0 , 2s-1=0\)

\(\Rightarrow 2s=1 , 2s=1\)

\(\Rightarrow s=\frac{1}{2} , s=\frac{1}{2}\)

সত্যাপন :

ইয়াত,

\(a=4\)

\(b=-4\)

\(c=1\)

\(α=\frac{1}{2}\)

\(β=\frac{1}{2}\)

আমি জানো,

\(\alpha+\beta=-\frac{b}{a}\)

\(\Rightarrow \frac{1}{2}+\frac{1}{2}=-\frac{-4}{4}\)

\(\Rightarrow \frac{1+1}{2}=\frac{4}{4}\)

\(\Rightarrow \frac{2}{2}=1\)

\(\Rightarrow 1=1\)

আকৌ,

\(\alpha \times \beta = \frac{c}{a}\)

\(\Rightarrow \left(\frac{1}{2}\right) \times \left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{4}\)

\(\Rightarrow \frac{1\times1}{2\times2}=\frac{1}{4}\)

\(\Rightarrow \frac{1}{4}=\frac{1}{4}\)


(iii) \(6x^2-3-7x\)

উত্তৰ :

\(6x^2-3-7x\)

\(=6x^2-7x-3\)

\(=6x^2-(9-2)x-3\)

\(=6x^2-9x+2x-3\)

\(=3x(2x-3)+1(2x-3)\)

\(=(3x+1)(2x-3)\)

\(\therefore 3x+1=0 , 2x-3=0\)

\(\Rightarrow 3x=-1 , 2x=3\)

\(\Rightarrow x=-\frac{1}{3} , x=\frac{3}{2}\)

সত্যাপন :

ইয়াত,

\(a=6\)

\(b=-7\)

\(c=-3\)

\(α=-\frac{1}{3}\)

\(β=\frac{3}{2}\)

আমি জানো,

\(\alpha+\beta=-\frac{b}{a}\)

\(\Rightarrow -\frac{1}{3}+\frac{3}{2}=-\frac{-7}{6}\)

\(\Rightarrow \frac{-2+9}{6}=\frac{7}{6}\)

\(\Rightarrow \frac{7}{6}=\frac{7}{6}\)

আকৌ,

\(\alpha \times \beta = \frac{c}{a}\)

\(\Rightarrow \left(-\frac{1}{3}\right) \times \left(\frac{3}{2}\right)=-\frac{3}{6}\)

\(\Rightarrow \frac{-1\times3}{3\times2}=-\frac{3}{6}\)

\(\Rightarrow -\frac{3}{6}=-\frac{3}{6}\)


(iv) \(4u^2 + 8u\)

উত্তৰ :

\(4u^2 + 8u\)

\(=4u(u + 2)\)

\(\therefore 4u = 0 , u + 2 = 0\)

\(\Rightarrow u = 0 , u = -2\)

সত্যাপন :

ইয়াত,

\(a = 4\)

\(b = 8\)

\(c = 0\)

\(α = 0\)

\(β = -2\)

আমি জানো,

\(\alpha+\beta=\frac{-b}{a}\)

\(⇒0+(-2)=\frac{-8}{4}\)

\(\Rightarrow -2=-2\)

আকৌ,

\(\alpha \times \beta = \frac{c}{a}\)

\(⇒0 \times (-2)=\frac{0}{4}\)

\(\Rightarrow 0=0\)


(v) \(t^2 - 15\)

উত্তৰ :

\(t^2 - 15\)

\( t^2 - (\sqrt{15})^2 \)

অভেদ ব্যৱহাৰ কৰি পাও,

\(= (t + \sqrt{15})(t - \sqrt{15})\)

\(\therefore t + \sqrt{15} = 0 , t - \sqrt{15} = 0\)

\(\Rightarrow t = -\sqrt{15} , t = \sqrt{15}\)

সত্যাপন :

ইয়াত,

\(a = 1\)

\(b = 0\)

\(c = -15\)

\(α = -\sqrt{15}\)

\(β = \sqrt{15}\)

আমি জানো,

\(\alpha+\beta=\frac{-b}{a}\)

\(⇒-\sqrt{15}+\sqrt{15}=\frac{0}{1}\)

\(\Rightarrow 0=0\)

আকৌ,

\(\alpha \times \beta = \frac{c}{a}\)

\(⇒-\sqrt{15} \times \sqrt{15}=\frac{-15}{1}\)

\(\Rightarrow -15=-15\)


(vi) \(3x^2-x-4\)

উত্তৰ :

\(3x^2-x-4\)

\(=3x^2-(4-3)x-4\)

\(=3x^2-4x+3x-4\)

\(=x(3x-4)+1(3x-4)\)

\(=(x+1)(3x-4)\)

\(\therefore x+1=0 , 3x-4=0\)

\(\Rightarrow x=-1 , 3x=4\)

\(\Rightarrow x=-1 , x=\frac{4}{3}\)

সত্যাপন :

ইয়াত,

\(a=3\)

\(b=-1\)

\(c=-4\)

\(α=-1\)

\(β=\frac{4}{3}\)

আমি জানো,

\(\alpha+\beta=-\frac{b}{a}\)

\(⇒(-1)+\frac{4}{3}=-\frac{-1}{3}\)

\(\Rightarrow \frac{-3+4}{3}=\frac{1}{3}\)

\(\Rightarrow \frac{1}{3}=\frac{1}{3}\)

আকৌ,

\(\alpha \times \beta = \frac{c}{a}\)

\(⇒(-1) \times \left(\frac{4}{3}\right)=-\frac{4}{3}\)

\(⇒-\frac{4}{3}=-\frac{4}{3}\)


2. তলৰ যোৰকেইটাৰ সংখ্যা দুটাক ক্ৰমে শূন্যবোৰৰ সমষ্টি আৰু গুণফল হিচাপে ধৰি প্ৰত্যেকৰ ক্ষেত্ৰত একোটা দ্বিঘাত বহুপদ নিৰ্ণয় কৰা ৷

(i) \( \frac{1}{4} \), -1

উত্তৰ :

ধৰো,

\( \alpha + \beta = \frac{1}{4} \)

\( \alpha \times \beta = -1 \)

আমি জানো,

\( x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha \times \beta \)

\( =x^2 - \left(\frac{1}{4}\right)x + (-1) \)

\( =x^2 - \left(\frac{1}{4}\right)x - 1 \)

যদি, \( k[x^2 - \left(\frac{1}{4}\right)x - 1] \) আৰু \( k=4 \)

∴ \( 4x^2 - 4\times\left(\frac{1}{4}\right)x - 4\times1 \)

\( =4x^2 - x - 4 \)

∴ দ্বিঘাত বহুপদটো হ'ল \( 4x^2 - x - 4 \)


(ii) \( \sqrt{2} \), \( \frac{1}{3} \)

উত্তৰ :

ধৰো,

\( \alpha + \beta = \sqrt{2} \)

\( \alpha \times \beta = \frac{1}{3} \)

আমি জানো,

\( x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha \times \beta \)

\( =x^2 - (\sqrt{2})x + \frac{1}{3} \)

যদি, \( k[x^2 - (\sqrt{2})x + \frac{1}{3}] \) আৰু \( k=3 \)

∴ \( 3x^2 - 3 \times (\sqrt{2})x + 3 \times \frac{1}{3} \)

\( =3x^2 - 3\sqrt{2}x + 1 \)

∴ দ্বিঘাত বহুপদটো হ'ল \( 3x^2 - 3\sqrt{2}x + 1 \)


(iii) \( 0 \), \( \sqrt{5} \)

উত্তৰ :

ধৰো,

\( \alpha + \beta = 0 \)

\( \alpha \times \beta = \sqrt{5} \)

আমি জানো,

\( x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha \times \beta \)

\( =x^2 - 0x + \sqrt{5} \)

\( =x^2 + \sqrt{5} \)

যদি, \( k[x^2 + \sqrt{5}] \) আৰু \( k=1 \)

∴ \( 1x^2 + 1 \times \sqrt{5} \)

\( =x^2 + \sqrt{5} \)

∴ দ্বিঘাত বহুপদটো হ'ল \( x^2 + \sqrt{5} \)


(iv) \( 1 \), \( 1 \)

উত্তৰ :

ধৰো,

\( \alpha + \beta = 1 \)

\( \alpha \times \beta = 1 \)

আমি জানো,

\( x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha \times \beta \)

\( =x^2 - 1x + 1 \)

\( =x^2 - x + 1 \)

যদি, \( k[x^2 - x + 1] \) আৰু \( k=1 \)

∴ \( 1x^2 - 1x + 1\times1 \)

\( =x^2 - x + 1 \)

∴ দ্বিঘাত বহুপদটো হ'ল \( x^2 - x + 1 \)


(v) \( -\frac{1}{4} \), \( \frac{1}{4} \)

উত্তৰ :

ধৰো,

\( \alpha + \beta = -\frac{1}{4} \)

\( \alpha \times \beta = \frac{1}{4} \)

আমি জানো,

\( x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha \times \beta \)

\( =x^2 - \left(-\frac{1}{4}\right)x + \frac{1}{4} \)

\( =x^2 + \frac{1}{4}x + \frac{1}{4} \)

যদি, \( k[x^2 + \frac{1}{4}x + \frac{1}{4}] \) আৰু \( k=4 \)

∴ \( 4x^2 + 4\times\left(\frac{1}{4}\right)x + 4\times\frac{1}{4} \)

\( =4x^2 + x + 1 \)

∴ দ্বিঘাত বহুপদটো হ'ল \( 4x^2 + x + 1 \)


(vi) \( 4 \), \( 1 \)

উত্তৰ :

ধৰো,

\( \alpha + \beta = 4 \)

\( \alpha \times \beta = 1 \)

আমি জানো,

\( x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha \times \beta \)

\( =x^2 - 4x + 1 \)

যদি, \( k[x^2 - 4x + 1] \) আৰু \( k=1 \)

∴ \( 1x^2 - 4x + 1\times1 \)

\( =x^2 - 4x + 1 \)

∴ দ্বিঘাত বহুপদটো হ'ল \( x^2 - 4x + 1 \)


3. দ্বিঘাত বহুপদবোৰ নিৰ্ণয় কৰা যাৰ শূন্যকেইটা তলত দিয়া ধৰণৰ :

(i) \( -4 \), \( \frac{3}{2} \)

উত্তৰ :

ধৰো,

\( \alpha = -4 \)

\( \beta = \frac{3}{2} \)

∵ \( \alpha + \beta = -\frac{b}{a} \)

\( \Rightarrow -4 + \frac{3}{2} = -\frac{b}{a} \)

\( \Rightarrow \frac{-8+3}{2} = -\frac{b}{a} \)

\( \Rightarrow -\frac{5}{2} = -\frac{b}{a} \)

ইয়াত,

\( -b = -5 \)

\( \Rightarrow b = 5 →(i)\)

\( a = 2 →(ii)\)

আকৌ,

\( \alpha\times \beta = \frac{c}{a} \)

\( \Rightarrow -4 \times \frac{3}{2} = \frac{c}{a} \)

\( ⇒-4 \times \frac{3}{2} = \frac{c}{2} [∵ a=2]\)

\( \Rightarrow -\frac{12}{2} = \frac{c}{2} \)

\( \Rightarrow 2c = -12 \times 2 \)

\( \Rightarrow 2c = -24 \)

\( \Rightarrow c = -\frac{24}{2} \)

\( \Rightarrow c = -12 →(iii) \)

∵ \( ax^2 + bx + c = 0 \)

∴ (i), (ii) আৰু (iii) ৰ পৰা,

∴ \( 2x^2 + 5x + (-12) = 0 \)

\( \Rightarrow 2x^2 + 5x - 12 = 0 \)

∴ দ্বিঘাত বহুপদটো হ'ল \( 2x^2 + 5x - 12 = 0 \)


(ii) 5 আৰু 2

উত্তৰ :

ধৰো,

\( \alpha = 5 \)

\( \beta = 2 \)

∵ \( \alpha + \beta = -\frac{b}{a} \)

\(⇒ 5 + 2 = -\frac{b}{a} \)

\(⇒ 7 = -\frac{b}{a} \)

ইয়াত,

\( -b = 7 \)

\( \Rightarrow b = -7 \) →(i)

\( a = 1 \) →(ii)

আকৌ,

\( \alpha \times \beta = \frac{c}{a} \)

\(⇒ 5 \times 2 = \frac{c}{a} \)

\(⇒ 10 = \frac{c}{1} [∵ a=1] \)

\(⇒ c = 10 \) →(iii)

∵ \( ax^2 + bx + c = 0 \)

∴ (i), (ii) আৰু (iii) ৰ পৰা,

∴ \( 1x^2 + (-7x) + 10 = 0 \)

\( \Rightarrow x^2 - 7x + 10 = 0 \)

∴ দ্বিঘাত বহুপদটো হ'ল = \( x^2 - 7x + 10 = 0 \)


(iii) \( \frac{1}{3} \) আৰু -1

উত্তৰ :

ধৰো,

\( \alpha = \frac{1}{3} \)

\( \beta = -1 \)

∵ \( \alpha + \beta = -\frac{b}{a} \)

\(⇒ \frac{1}{3} +(- 1 )= -\frac{b}{a} \)

\(⇒ \frac{1}{3} - 1 = -\frac{b}{a} \)

\( \Rightarrow \frac{1-3}{3} = -\frac{b}{a} \)

\( ⇒-\frac{2}{3} = -\frac{b}{a} \)

ইয়াত,

\( -b = -2 \)

\( \Rightarrow b =2 \) →(i)

\( a = 3 \) →(ii)

আকৌ,

\( \alpha \times \beta = \frac{c}{a} \)

\(⇒ \frac{1}{3} \times (-1) = \frac{c}{a} \)

\(⇒ -\frac{1}{3} = \frac{c}{3} \) [∵ a=3]

\(⇒ -3c = 3 \)

\( ⇒c = -\frac{3}{3} \)

\(⇒ c = -1 \) →(iii)

∵ \( ax^2 + bx + c = 0 \)

∴ (i), (ii) আৰু (iii) ৰ পৰা,

∴ \( 3x^2 + 2x+(-1) = 0 \)

⇒ \( 3x^2 + 2x-1 = 0 \)

∴ দ্বিঘাত বহুপদটো হ'ল = \( 3x^2 + 2x-1 = 0 \)


(iv) \( \frac{3}{2} \) আৰু -2

উত্তৰ :

ধৰো,

\( \alpha = \frac{3}{2} \)

\( \beta = -2 \)

∵ \( \alpha + \beta = -\frac{b}{a} \)

\(⇒ \frac{3}{2} +(- 2 )= -\frac{b}{a} \)

\(⇒ \frac{3}{2} - 2 = -\frac{b}{a} \)

\( \Rightarrow \frac{3-4}{2} = -\frac{b}{a} \)

\( ⇒-\frac{1}{2} = -\frac{b}{a} \)

ইয়াত,

\( -b = -1 \)

\( \Rightarrow b =1 \) →(i)

\( a = 2 \) →(ii)

আকৌ,

\( \alpha \times \beta = \frac{c}{a} \)

\(⇒ \frac{3}{2} \times (-2) = \frac{c}{a} \)

\( ⇒-\frac{6}{2}= \frac{c}{2} \) [∵ a=2]

\( ⇒-3= \frac{c}{2} \)

\(⇒ c = -6 \) →(iii)

∵ \( ax^2 + bx + c = 0 \)

(i), (ii) আৰু (iii) ৰ পৰা,

∴ \( 2x^2 + x + (-6) = 0 \)

⇒ \( 2x^2 + x -6 = 0 \)

∴ দ্বিঘাত বহুপদটো হ'ল = \( 2x^2 + x -6 = 0 \)


~ সমাপ্ত ~
গাণিতিক ধাৰণাবোৰৰ গভীৰভাৱে আয়ত্ব কৰিবলৈ সম্পূৰ্ণ সমাধান প্ৰদান কৰাটো গুৰুত্বপূৰ্ণ। ই শিক্ষাৰ্থীসকলক অন্তৰ্নিহিত নীতিবোৰ বুজি পোৱাত, সমস্যা সমাধানৰ দক্ষতা বিকাশ কৰাত, শিক্ষাৰ্থীৰ আত্মবিশ্বাস গঢ়াত সহায় কৰে।
Remember, with the right guidance and practice makes perfect in mathematics. Keep exploring, experimenting, and solving problems to excel in this fascinating subject.
Stay tuned for more educational content and solutions from Jahan Education.
📚 Happy learning!!
Thumbnail

Post a Comment

0 Comments