Ads banner

JE Banner Ads
Image 2

অনুশীলনী 2.3 - বহুপদ - অধ্যায় 2 - গণিত - দশম শ্ৰেণী

Jahan Education

"Jahan Education" লৈ আপোনাক স্বাগতম, আজি আমাৰ গণিত বিশেষজ্ঞ :-)

👩‍🏫 J.A.C (B.Sc Honours | Web/App Developer.)

দশম শ্ৰেণীৰ গণিতৰ অনুশীলনী 2.3 -ৰ step by step সম্পূৰ্ণ সমাধান দিব। আপুনি শৈক্ষিক সফলতাৰ বাবে চেষ্টা কৰা শিক্ষাৰ্থী হওঁক বা আপোনাৰ ছাত্ৰ-ছাত্ৰীৰ বাবে ব্যাপক সমাধান বিচৰা শিক্ষক হওঁক, we've got you covered.

ইয়াত, অনুশীলনী 2.3 -ৰ প্ৰতিটো প্ৰশ্নৰ সমাধান লিখি দিয়া হ ল :
অনুশীলনী 2.3

1. \(p(x)\) বহুপদটোক\( g(x\)) বহুপদটোৰে হৰণ কৰা আৰু প্ৰতিটোৰে ক্ষেত্ৰত ভাগফল আৰু ভাগশেষ নিৰ্ণয় কৰা :

(i)

\( p(x) = x^3 - 3x^2 + 5x - 3 \)

\( g(x) = x^2 - 2 \)

উত্তৰ :

$$ \require{enclose} \begin{array}{rl} & x - 3 \\ x^2 - 2 & \enclose{longdiv}{x^3 - 3x^2 + 5x - 3} \\ & \underline{- (x^3 - 2x)} \\ & -3x^2 + 7x - 3 \\ & \underline{- (-3x^2 + 6)} \\ & 7x - 9 \end{array} $$

ভাগফল, \( q(x) = x-3\)

ভাগশেষ, \( r(x) = 7x-9 \)

(ii)

\( p(x) = x^4 - 3x^2 + 4x + 5 \)

\( g(x) = x^2 + 1 - x \)

উত্তৰ :

$$ \require{enclose} \begin{array}{rl} & x^2 + x - 3 \\ x^2 - x + 1 & \enclose{longdiv}{x^4 - 3x^2 + 4x + 5} \\ & \underline{- (x^4 - x^3 + x^2)} \\ & x^3 - 4x^2 + 4x + 5 \\ & \underline{- (x^3 - x^2 + x)} \\ & -3x^2 + 3x + 5 \\ & \underline{- (-3x^2 + 3x - 3)} \\ & 8 \end{array} $$

ভাগফল, \( q(x) = x²+x-3\)

ভাগশেষ, \( r(x) = 8 \)

(iii)

\( p(x) = x^4 - 5x + 6 \)

\( g(x) = 2-x^2 \)

উত্তৰ :

$$ \require{enclose} \begin{array}{rl} & -x^2 - 2 \\ -x^2 + 2 & \enclose{longdiv}{x^4 - 5x + 6} \\ & \underline{- (x^4 - 2x^2)} \\ & 2x^2 - 5x + 6 \\ & \underline{- (2x^2 - 4)} \\ & -5x + 10 \end{array} $$

ভাগফল, \( q(x) = -x^2 - 2 \)

ভাগশেষ, \( r(x) = -5x + 10 \)

(iv)

\( p(x) = 2x^4 + 3x^3 - 2x^2 - 9x - 12 \)

\( g(x) = x^2 - 3 \)

উত্তৰ :

$$ \require{enclose} \begin{array}{rl} & 2x^2 + 3x + 4 \\ x^2 - 3 & \enclose{longdiv}{2x^4 + 3x^3 - 2x^2 - 9x - 12} \\ & \underline{- (2x^4 - 6x^2)} \\ & 3x^3 + 4x^2 - 9x - 12 \\ & \underline{- (3x^3 - 9x)} \\ & 4x^2 - 12 \\ & \underline{- (4x^2 - 12)} \\ & 0 \end{array} $$

ভাগফল, \( q(x) = 2x^2 + 3x + 4 \)

ভাগশেষ, \( r(x) = 0 \)

(v)

\( p(x) = x^6 + 3x^2 + 10 \)

\( g(x) = x^3 + 1 \)

উত্তৰ :

$$ \require{enclose} \begin{array}{rl} & x^3 - 1\\ x^3 + 1 & \enclose{longdiv}{x^6 + 3x^2 + 10} \\ & \underline{- (x^6 + x^3)} \\ & - x^3 + 3x^2 + 10 \\ & \underline{- (-x^3 - 1)} \\ & 3x^2 + 11 \\ \end{array} $$

ভাগফল, \( q(x) = x^3 - q\)

ভাগশেষ, \( r(x) = 3x^2 + 11 \)

(vi)

\( p(x) = 2x^5 - 5x^4 + 7x^3 + 4x^2 - 10x + 11 \)

\( g(x) = x^3 + 2 \)

উত্তৰ :

$$ \require{enclose} \begin{array}{rl} & 2x^2 - 5x + 7 \\ x^3 + 2 & \enclose{longdiv}{2x^5 - 5x^4 + 7x^3 + 4x^2 - 10x + 11} \\ & \underline{- (2x^5 + 4x^2)} \\ & - 5x^4 + 7x^3 - 10x + 11 \\ & \underline{- (-5x^4 - 10x)} \\ & 7x^3 + 11 \\ & \underline{- (7x^3 + 14)} \\ & - 3 \\ \end{array} $$

ভাগফল, \( q(x) = 2x^2 - 5x + 7 \)

ভাগশেষ, \( r(x) = - 3 \)

2. দ্বিতীয় বহুপদটোক প্ৰথম বহুপদেৰে হৰণ কৰি প্ৰথম বহুপদটো দ্বিতীয় বহুপদটোৰ এটা উৎপাদক হয়নে নহয় পৰীক্ষা কৰা :

(i) \( t^2 - 3, 2t^4 + 3t^3 - 2t^2 - 9t - 12 \)

উত্তৰ :

$$ \require{enclose} \begin{array}{rl} & 2t^2 + 3t + 4 \\ t^2 - 3 & \enclose{longdiv}{2t^4 + 3t^3 - 2t^2 - 9t - 12} \\ & \underline{- (2t^4 - 6t^2)} \\ & 3t^3 + 4t^2 - 9t - 12 \\ & \underline{- (3t^3 - 9t)} \\ & 4t^2 - 12 \\ & \underline{- (4t^2 - 12)} \\ & 0 \end{array} $$

∵ ভাগশেষ, \( r(t) = 0 \) (শূণ্য হৈছে)
∴ প্ৰথম বহুপদটো দ্বিতীয় বহুপদটোৰ এটা উৎপাদক হয়।

(ii) \( x^2 + 3x + 1, 3x^4 + 5x^3 - 7x^2 + 2x + 2 \)

উত্তৰ :

$$ \require{enclose} \begin{array}{rl} & 3x^2 - 4x + 2 \\ x^2 + 3x + 1 & \enclose{longdiv}{3x^4 + 5x^3 - 7x^2 + 2x + 2} \\ & \underline{- (3x^4 + 9x^3 + 3x^2)} \\ & -4x^3 - 10x^2 + 2x + 2 \\ & \underline{- (-4x^3 - 12x^2 - 4x)} \\ & 2x^2 + 6x + 2 \\ & \underline{- (2x^2 + 6x + 2)} \\ & 0 \end{array} $$

∵ ভাগশেষ, \( r(t) = 0 \) (শূণ্য হৈছে)
∴ প্ৰথম বহুপদটো দ্বিতীয় বহুপদটোৰ এটা উৎপাদক হয়।

(iii) \( x^3 - 3x + 1, x^5 - 4x^3 + x^2 + 3x + 1 \)

উত্তৰ :

$$ \require{enclose} \begin{array}{rl} & x^2 - 1 \\ x^3 - 3x + 1 & \enclose{longdiv}{x^5 - 4x^3 + x^2 + 3x + 1} \\ & \underline{- (x^5 - 3x^3 + x^2)} \\ & - x^3 + 3x + 1 \\ & \underline{- (-x^3 + 3x - 1)} \\ & 2 \end{array} $$

∵ ভাগশেষ, \( r(x) = 2 \) (শূণ্য হোৱা নাই)
∴ প্ৰথম বহুপদটো দ্বিতীয় বহুপদটোৰ এটা উৎপাদক নহয়।

3. যদি দুটা শূন্য \(\sqrt{\frac{5}{3}}\) আৰু \(-\sqrt{\frac{5}{3}}\) তেন্তে \(3x^4 + 6x^3 – 2x^2 – 10x – 5\) ৰ বাকী আটাইবোৰ শূন্য উলিওৱা।

উত্তৰ :

দিয়া আছে শূণ্য দুটা ক্ৰমে,

\(x=\sqrt{\frac{5}{3}}\), \(x=-\sqrt{\frac{5}{3}}\)

⇒ \(x-\sqrt{\frac{5}{3}}=0\), \(x+\sqrt{\frac{5}{3}}=0\)

⇒ \((x-\sqrt{\frac{5}{3}})(x+\sqrt{\frac{5}{3}}) =0\)

⇒ \(x^2-(\sqrt{\frac{5}{3}})^2=0\)

⇒ \(x^2-\frac{\sqrt{5}^2}{\sqrt{3}^2}=0\)

⇒ \(x^2 - \frac{5}{3} = 0\)

⇒ \(\frac{3x^2 - 5}{3} = 0\)

⇒ \(3x^2 - 5 = 0 \times 3\)

⇒ \(3x^2 - 5 = 0\)

এতিয়া,

$$ \require{enclose} \begin{array}{rl} & x^2 + 2x + 1 \\ 3x^2 - 5 & \enclose{longdiv}{3x^4 + 6x^3 - 2x^2 - 10x - 5} \\ & \underline{- (3x^4 - 5x^2)} \\ & 6x^3 + 3x^2 - 10x - 5 \\ & \underline{- (6x^3 - 10x)} \\ & 3x^2 - 5 \\ & \underline{- (3x^2 - 5)} \\ & 0 \end{array} $$

\(∴ x^2 + 2x + 1 =0\)

\(⇒ x^2 + (1+1)x + 1 =0\)

\(⇒ x^2 + x + x + 1 =0\)

\(⇒ x(x+1)+1(x+1)=0\)

\(⇒ (x+1)(x+1)=0\)

\(⇒x+1=0, x+1=0\)

\(⇒x=-1, x=-1\)

∴ বাকী আটাইবোৰ শূন্য হ'ল \(= -1, -1,\)\(\sqrt{\frac{5}{3}}\) আৰু \(-\sqrt{\frac{5}{3}}\)

4. \(x³ – 3x² + x + 2\) ক এটা বহুপদ \( g(x\)) ৰে হৰণ কৰাত ভাগফল \(x – 2\) আৰু ভাগশেষ \(– 2x + 4\) পোৱা গ'ল। \(g(x)\) উলিওৱা।

উত্তৰ :

ধৰো,

\(p(x) =x³ – 3x² + x + 2\)

\(g(x) =? \)

\(q(x) = x-2\)

\(r(x) =-2x+4\)

আমি জানো,

\(p(x) =g(x) × q(x) + r(x) \)

⇒ \(\frac{p(x) - r(x)}{q(x)} = g(x)\)

⇒ \(\frac{x^3 – 3x^2 + x + 2 - (-2x+4)}{x-2} = g(x)\)

⇒ \(\frac{x^3 – 3x^2 + x + 2 + 2x - 4}{x-2} = g(x)\)

⇒ \(\frac{x^3 – 3x^2 + 3x - 2}{x - 2} = g(x)\)

$$ \require{enclose} \begin{array}{rl} & x^2 - x + 1\\ x - 2 & \enclose{longdiv}{x^3 - 3x^2 + 3x - 2} \\ & \underline{-(x^3 - 2x^2)} \\ & -x^2 + 3x - 2 \\ & \underline{- (-x^2 + 2x)} \\ & x - 2 \\ & \underline{- (x - 2)} \\ & 0 \end{array} $$

\(∴ g(x) =x²-x+1 \)

5. কেইটামান বহুপদ \( p(x), g(x), q(x)\) আৰু \(r(x)\) ৰ উদাহৰণ দিয়া যাতে ইহঁতে বিভাজন কলনবিধি সিদ্ধ কৰে আৰু

\((i) p(x)\) ৰ মাত্ৰা \(= q(x)\) ৰ মাত্ৰা

\((ii) q (x)\) ৰ মাত্ৰা \(= r(x)\) ৰ মাত্ৰা

\((iii) r(x)\) ৰ মাত্ৰা \(= 0\)

উত্তৰ : পৰীক্ষাৰ বাবে important নহয়।

6.

(i) \( 3x³ – x² – 3x + 1\) বহুপদটোৰ এটা শূন্য 1। ইয়াৰ বাকীকেইটা শূন্য নিৰ্ণয় কৰা।

উত্তৰ :

দিয়া আছে এটা শূণ্য,

\(x=1\)

\(⇒x-1=0\)

এতিয়া,

$$ \require{enclose} \begin{array}{rl} & 3x^2 + 2x - 1 \\ x - 1 & \enclose{longdiv}{3x^3 - x^2 - 3x + 1} \\ & \underline{-(3x^3 - 3x^2)} \\ & 2x^2 - 3x + 1 \\ & \underline{- (2x^2 - 2x)} \\ & -x + 1 \\ & \underline{- (-x + 1)} \\ & 0 \end{array} $$

\(∴ 3x^2 + 2x - 1 \)

\(= 3x^2 + (3-1)x - 1\)

\(= 3x^2 + 3x - x - 1\)

\(= 3x(x + 1) - 1(x + 1)\)

\(=(3x - 1)(x + 1)\)

\(\therefore 3x - 1 = 0, x + 1 = 0\)

\(\Rightarrow 3x = 1, x = -1\)

\(\Rightarrow x = \frac{1}{3}, x = -1\)

∴ বাকী আটাইবোৰ শূন্য হ'ল : \(-1, \frac{1}{3}, 1\)

(ii) \(x⁴ + x³ – 9x² – 3x + 18\) বহুপদটোৰ দুটা শূন্য \(\sqrt{3}\) আৰু \(-\sqrt{3}\) । ইয়াৰ বাকীকেইটা শূন্য নিৰ্ণয় কৰা।

উত্তৰ :

দিয়া আছে শূণ্য দুটা ক্ৰমে,

\(x= \sqrt{3}, x=-\sqrt{3}\)

\(⇒x-\sqrt{3}=0, x+\sqrt{3}=0\)

\(⇒(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})=0\)

\(⇒x²-\sqrt{3}²=0\)

\(⇒x²-3=0\)

এতিয়া,

$$ \require{enclose} \begin{array}{rl} & x^2 + x - 6 \\ x^2 - 3 & \enclose{longdiv}{x^4 + x^3 - 9x^2 - 3x + 18} \\ & \underline{-(x^4 - 3x^2)} \\ & x^3 - 6x^2 - 3x + 18 \\ & \underline{- (x^3 - 3x)} \\ & -6x^2 + 18 \\ & \underline{- (-6x^2 + 18)} \\ & 0 \end{array} $$

\(∴ x^2 + x - 6 \)

\(⇒x^2 + (3-2)x - 6 \)

\(⇒x^2 + 3x - 2x - 6 \)

\(⇒x(x+3)-2(x+3)\)

\(⇒(x-2)(x+3)\)

\(∴ x-2=0, x+3=0\)

\(⇒ x = 2, x = -3\)

∴ বাকী আটাইবোৰ শূন্য হ'ল : \(2,-3,\sqrt{3}, -\sqrt{3}\)

(iii) \(x⁴ – 2x³ – 26x² + 54x – 27\) বহুপদটোৰ দুটা শূন্য \(3\sqrt{3}\) আৰু \(–3\sqrt{3}\) । ইয়াৰ বাকীকেইটা শূন্য নিৰ্ণয় কৰা।

উত্তৰ :

দিয়া আছে শূণ্য দুটা ক্ৰমে,

\(x=3\sqrt{3}, x=-3\sqrt{3}\)

\(⇒x-3\sqrt{3}=0, x+3\sqrt{3}=0\)

\(⇒(x-3\sqrt{3})(x+3\sqrt{3})=0\)

\(⇒x²-(3\sqrt{3})²=0\)

\(⇒x²-3²×\sqrt{3}²=0\)

\(⇒x²-9×3=0\)

\(⇒x²-27=0\)

এতিয়া,

$$ \require{enclose} \begin{array}{rl} & x^2 +2x + 1 \\ x^2 - 27 & \enclose{longdiv}{x^4 - 2x^3 - 26x^2 - 54x - 27} \\ & \underline{-(x^4 - 27x^2)} \\ & 2x^3 + x^2 - 54x - 27 \\ & \underline{- (2x^3 - 54x)} \\ & x^2 - 27 \\ & \underline{- (x^2 - 27)} \\ & 0 \\ & \end{array} $$

\(∴ x^2 + 2x + 1\)

\(= x^2 + (1 + 1)x + 1\)

\(= x^2 + x + x + 1\)

\(= x(x + 1) + 1(x + 1)\)

\(= (x + 1)(x + 1)\)

\(∴ x + 1 = 0, x + 1 = 0\)

\(⇒ x = -1, x = -1\)

∴ বাকী আটাইবোৰ শূণ্য হ'ল : \(-1, -1, 3\sqrt{3}, -3\sqrt{3}\)

7.

(i) \(6x⁴ + 11x³ - 7x² – 15x – 50\) বহুপদটোক আন এটা বহুপদ \(3x + 7\) ৰে হৰণ কৰাত ভাগশেষ \(–15\) পোৱা গ'ল। ভাগফল কি?

উত্তৰ :

ধৰো,

\(p(x) = 6x^4 + 11x^3 - 7x^2 - 15x - 50\)

\(g(x) = 3x + 7\)

\(q(x) = ?\)

\(r(x) = -15\)

আমি জানো,

\(p(x) = g(x) \times q(x) + r(x)\)

⇒ \(\frac{{p(x) - r(x)}}{{g(x)}} = q(x)\)

⇒ \(\frac{{6x^4 + 11x^3 - 7x^2 - 15x - 50 - (-15)}}{{3x + 7}} = q(x)\)

⇒ \(\frac{{6x^4 + 11x^3 - 7x^2 - 15x - 50 + 15}}{{3x + 7}} = q(x)\)

⇒ \(\frac{{6x^4 + 11x^3 - 7x^2 - 15x - 35}}{{3x + 7}} = q(x)\)

এতিয়া,

$$ \require{enclose} \begin{array}{rl} & 2x^3 - x^2 - 5\\ 3x + 7 & \enclose{longdiv}{6x^4 + 11x^3 - 7x^2 - 15x - 35} \\ & \underline{-(6x^4 + 14x^3)} \\ & -3x^3 - 7x^2 - 15x - 35 \\ & \underline{- (-3x^3 - 7x^2)} \\ & - 15x - 35 \\ & \underline{- (-15x - 35)} \\ & 0 \\ & \end{array} $$

\(∴ q(x)=2x^3 - x^2 - 5\)

(ii) এটা বহুপদক \(x² – 2\) ৰে ভাগ কৰাত ভাগফল আৰু ভাগশেষ ক্ৰমে \(2x² +5x – 2\) আৰু \(-x + 14\) পোৱা গ'ল। বহুপদটো নিৰ্ণয় কৰা।

উত্তৰ :

\(p(x) =?\)

\(g(x) = x^2 – 2\)

\(q(x) = 2x^2 + 5x – 2\)

\(r(x) = -x + 14\)

আমি জানো,

\(p(x) = g(x) \times q(x) + r(x)\)

⇒ \(p(x) = (x^2 – 2) \times (2x^2 + 5x – 2) + (-x + 14)\)

⇒ \(p(x) = 2x^4 + 5x^3 - 2x^2 - 4x^2 - 10x + 4 - x + 14\)

⇒ \(p(x) = 2x^4 + 5x^3 - 6x^2 - 11x + 18\)

~ সমাপ্ত ~
গাণিতিক ধাৰণাবোৰৰ গভীৰভাৱে আয়ত্ব কৰিবলৈ সম্পূৰ্ণ সমাধান প্ৰদান কৰাটো গুৰুত্বপূৰ্ণ। ই শিক্ষাৰ্থীসকলক অন্তৰ্নিহিত নীতিবোৰ বুজি পোৱাত, সমস্যা সমাধানৰ দক্ষতা বিকাশ কৰাত, শিক্ষাৰ্থীৰ আত্মবিশ্বাস গঢ়াত সহায় কৰে।
Remember, with the right guidance and practice makes perfect in mathematics. Keep exploring, experimenting, and solving problems to excel in this fascinating subject.
Stay tuned for more educational content and solutions from Jahan Education.
📚 Happy learning!!
Thumbnail

Post a Comment

0 Comments