বাস্তৱ সংখ্যা – অনুশীলনী ১.১ | দশম শ্ৰেণীৰ গণিত অধ্যায় ১

(ASSEB-I)

Assam State School Education Board

Formerly— Board of Secondary Education, Assam

CLASS : X

SUBJECT : GENERAL MATHEMATICS

Medium : Assamese

CHAPTER— 1

বাস্তৱ সংখ্যা

Real Numbers

অনুশীলনী 1.1

1. প্ৰতিটো সংখ্যাক ইয়াৰ মৌলিক উৎপাদকবোৰৰ গুণফল হিচাপে প্ৰকাশ কৰা :

(i) 140 (ii) 156 (iii) 3825 (iv) 5005 (v) 7429

Answer:

(i) 140

140 = 2 × 2 × 5 × 7

Note :

140 ÷ 2 = 70

70 ÷ 2 = 35

35 ÷ 5 = 7

7 ÷ 7 = 1

(ii) 156

156 = 2 × 2 × 3 × 13

Note :

156 ÷ 2 = 78

78 ÷ 2 = 39

39 ÷ 3 = 13

13 ÷ 13 = 1

(iii) 3825

3825 = 5 × 5 × 3 × 3 × 17

Note :

3825 ÷ 5 = 765

765 ÷ 5 = 153

153 ÷ 3 = 51

51 ÷ 3 = 17

17 ÷ 17 = 1

(iv) 5005

5005 = 5 × 7 × 11 × 13

Note :

5005 ÷ 5 = 1001

1001 ÷ 7 = 143

143 ÷ 11 = 13

13 ÷ 13 = 1

(v) 7429

7429 = 17 × 19 × 23

Note :

7429 ÷ 17 = 437

437 ÷ 19 = 23

23 ÷ 23 = 1

2. তলৰ অখণ্ড সংখ্যাকেইযোৰৰ ল.সা.গু. আৰু গ.সা.উ. উলিওৱা। সত্যাপন কৰা যে

ল.সা.গু. × গ.সা.উ. = সংখ্যা দুটাৰ গুণফল।

(i) 26 আৰু 91 (ii) 510 আৰু 92 (iii) 336 আৰু 54

Answer:

(i) 26 আৰু 91

26 = 2 × 13

91 = 7 × 13

গ.সা.উ. = 13

ল.সা.গু. = 2 × 7 × 13

= 182

সত্যাপন :

ল.সা.গু. × গ.সা.উ. = সংখ্যা দুটাৰ গুণফল

⇒ 182 × 13 = 26 × 91

⇒ 2366 = 2366

(ii) 510 আৰু 92

510 = 2 × 3 × 5 × 17

92 = 2 × 2 × 23

গ.সা.উ. = 2

ল.সা.গু. = 2 × 2 × 3 × 5 × 17 × 23

= 23460

সত্যাপন :

ল.সা.গু. × গ.সা.উ. = সংখ্যা দুটাৰ গুণফল

⇒ 23460 × 2 = 510 × 92

⇒ 46920 = 46920

(iii) 336 আৰু 54

336 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 7

54 = 2 × 3 × 3 × 3

গ.সা.উ. = 2 × 3

= 6

ল.সা.গু. = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 7

= 3024

সত্যাপন :

ল.সা.গু. × গ.সা.উ. = সংখ্যা দুটাৰ গুণফল

= 3024 × 6 = 336 × 54

= 18144 = 18144

3. মৌলিক উৎপাদকীকৰণ পদ্ধতিৰে তলৰ অখণ্ড সংখ্যাবোৰৰ ল.সা.গু. আৰু গ.সা.উ. উলিওৱা।

(i) 12, 15 আৰু 21 (ii) 17, 23 আৰু 29 (iii) 8, 9 আৰু 25

Answer:

(i) 12, 15 আৰু 21

12 = 2 × 2 × 3

15 = 3 × 5

21 = 3 × 7

∴ গ.সা.উ.

= 3

∴ ল.সা.গু.

= 2² × 3 × 5 × 7

= 4 × 3 × 5 × 7

= 420

(ii) 17, 23 আৰু 29

17 = 17

23 = 23

29 = 29

∴ গ.সা.উ.

= 1

∴ ল.সা.গু.

= 17 × 23 × 29

= 11339

(iii) 8, 9 আৰু 25

8 = 2 × 2 × 2

9 = 3 × 3

25 = 5 × 5

∴ গ.সা.উ.

= 1

∴ ল.সা.গু.

= 2³ × 3² × 5²

= 8 × 9 × 25

= 1800

4. দিয়া আছে গ.সা.উ. (306, 657) = 9। ল.সা.গু. (306, 657) উলিওৱা।

Answer: দিয়া আছে,

সংখ্যা দুটা =306,657

গ.সা.উ. = 9

ল.সা.গু.=?

আমি জানো,

ল.সা.গু. × গ.সা.উ. = সংখ্যাদুটাৰ গুণফল

⇒ল.সা.গু. x 9 = 306x657

⇒ল.সা.গু. x 9 = 201042

⇒ল.সা.গু.= 201042÷9

⇒ল.সা.গু.=22338

5. পৰীক্ষা কৰা, কোনোবা স্বাভাৱিক সংখ্যা n -ৰক্ষেত্ৰত 6ⁿ সংখ্যাটো 0 অংকেৰে শেষ হব নোৱাৰেনে নাই।

Answer:

কোনোবা স্বাভাৱিক সংখ্যা n অৰ ক্ষেত্ৰত 6ⁿ সংখ্যাটো 0 অংকেৰে শেষ হ'ব,

যদিহে ই ২ আৰু 5 ৰে বিভাজ্য হয়।

ইয়াত,

6 ৰ মৌলিক উৎপাদক = 2x3

সেয়ে, 6, 2 ৰে বিভাজ্য হয়। কিন্তু 6, 5 ৰে বিভাজ্য নহয়।

গতিকে, কোনোবা স্বাভাৱিক সংখ্যা n অৰ ক্ষেত্ৰত 6ⁿ সংখ্যাটো 0 অংকেৰে শেষ হ'ব নোৱাৰে।

6. 7 × 11 × 13 + 13 আৰু 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 + 5 সংখ্যা দুটা কিয় যৌগিক সংখ্যা, ব্যাখ্যা কৰা।

Answer:

ইয়াত,

7 × 11 × 13 + 13

=13(7x11x1+1)

=13(77x1+1)

=13(77+1)

=13x78

আকৌ,

7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 + 5

=5(7x6x1x4x3x2x1+1)

=5(1008+1)

=5x1009

বাখ্যা :

(7 × 11 × 13 + 13) আৰু (7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 + 5) সংখ্যাটোক মৌলিক উৎপাদকৰ গুণফল হিচাপে প্ৰকাশ কৰিব পাৰি। সেয়ে, সংখ্যা দুটা যৌগিক সংখ্যা।

7. এখন খেল পথাৰৰ চাৰিওপিনে এটা বৃত্তাকাৰ পথ। খেল পথাৰখন গাড়ীৰে এবাৰ ঘূৰিবলৈ ছোনিয়াৰ 18 মিনিট লাগে, য'ত একেটা ঘূৰণতে ৰবিৰ লাগে 12 মিনিট। ধৰা তেওঁলোকে একেটা বিন্দুতে একে সময়তে আৰু একেটা দিশত যাত্ৰা আৰম্ভ কৰে। কিমান মিনিট পিছত তেওঁলোক আকৌ আৰম্ভণিৰ বিন্দুটোত লগ লাগিব?

Answer :

ইয়াত,

18=2x3x3x1

12=2x2x3x1

ল.সা.গু.

=2x3x3x1x2

=36

36 মিনিট পিছত তেওঁলোক আকৌ আৰম্ভণিৰ বিন্দুটোত লগ লাগিব।

Note :

“সৰ্বাধিক”, “ডাঙৰ ভাগ”, “সমান ভাগ” → সাধাৰণতে গ.সা.গু. উলিওৱা হয়।

“একেলগে”, “পুনৰ”, “সৰ্বনিম্ন সাধাৰণ” → সাধাৰণতে ল.সা.গু. উলিওৱা হয়।

8. (i) এটা ৰেজিমেণ্টত থকা সৈনিকবোৰক 15, 20 বা 25 জনকৈ লৈ কিছুমান শাৰীত থিয় কৰাব পাৰি। ৰেজিমেণ্টটোত অতি কমেও কিমানজন সৈনিক আছে?

Answer :

ইয়াত,

15=3x5x1

20=2x2x5x1

25=5x5x1

ল.সা.গু.

= 3x5x1x2x2x5

=300

∴ ৰেজিমেণ্টটোত অতি কমেও 300 জন সৈনিক আছে?

(ii) এটা ঘণ্টা 18 ছেকেণ্ড আৰু আন এটা ঘণ্টা 60 ছেকেণ্ডৰ অন্তৰালত বাজে। কোনো এক সময়ত দুয়োটা ঘণ্টা একেলগে বাজিলে তাৰ কিমান ছেকেণ্ড পিছত ঘণ্টাদুটা পুণৰ একেলগে বাজিব?

Answer :

ইয়াত,

18=2x3x3x1

60=2x2x3x5x1

ল.সা.গু.

=2x3x3x1x2x5

=180

∴ 180 ছেকেণ্ড পিছত ঘণ্টাদুটা পুণৰ একেলগে বাজিব।

(iii) এটা অঁনাতাৰ কেন্দ্ৰই প্ৰতি দুদিনৰ মূৰে মূৰে “অসম সংগীত”টো বজায়। আন এটা কেন্দ্ৰই একেটো সংগীত প্ৰতি তিনি দিনৰ মূৰে মূৰে বজায়। 30 দিনত মুঠতে কিমানবাৰ দুয়োটা অনুষ্ঠান কেন্দ্ৰই একেটো দিনত সংগীতটো বজায় ?

Answer:

এটা অঁনাতাৰ কেন্দ্ৰই “অসম সংগীত”টো বজায় = 2 দিনৰ মূৰে মূৰে

আন এটা অঁনাতাৰ কেন্দ্ৰই “অসম সংগীত”টো বজায় = 3 দিনৰ মূৰে মূৰে

∴ 2 আৰু 3 ৰ ল. সা. গু. = 2 × 3 = 6

∴ 30 দিনত মুঠতে দুয়োটা অনুষ্ঠান কেন্দ্ৰই একেটো দিনত সংগীতটো বজাব = 30/6 = 5 বাৰ

(iv) 616 সদস্যৰ এটা সেনাবাহিনীৰ গোটে 32 জনীয়া এটা সেনাদলৰ পিছে পিছে কদম-খোজ কাঢ়ি কাঢ়ি যাবলগীয়া হ’ল। দুয়োটা দলেই একে সমান সংখ্যক স্তম্ভত কদম-খোজ কাঢ়িবলগীয়া হ’ল। তেওঁলোকে খোজ কাঢ়িবলগীয়া স্তম্ভৰ উচ্চতম সংখ্যা কি হ’ব?

Answer:

ইয়াত,

616 = 2 × 2 × 2 × 7 × 11

32 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2

গ. সা. উ. (HCF) = 2 × 2 × 2 = 8

∴ তেওঁলোকে খোজ কাঢ়িবলগীয়া স্তম্ভৰ উচ্চতম সংখ্যা হ’ব = 8

Note:

যেতিয়া প্ৰশ্নত “সৰ্বোচ্চ”,“সৰ্বাধিক”, “সমান ভাগ”, “ডাঙৰকৈ বিভাজন” ধৰণৰ কথা থাকে। এইবোৰ ক্ষেত্ৰত গ.সা.উ (HCF) উলাব লাগে।

(v) হিমাদ্ৰিয়ে 625 টা ভাৰতীয় আৰু 325 টা আন্তঃৰাষ্ট্ৰীয় ডাকটিকট সংগ্ৰহ কৰিলে। তাই এইবোৰ এক বিশেষ থূপত ৰাখি প্ৰদৰ্শন কৰিবলে বিচাৰে যাতে এটাও ডাকটিকট ৰৈ নাযায়। হিমাদ্ৰিয়ে সর্বাধিক কিমানটা থূপত ডাকটিকটবোৰ প্ৰদৰ্শন কৰিব পাৰিব?

Answer:

ইয়াত,

625 = 5 × 5 × 5 × 5 = 5⁴

325 = 5 × 5 × 13 = 5² × 13

গ. সা. উ. (HCF) = 5 × 5 = 25

∴ হিমাদ্ৰিয়ে সর্বাধিক 25টা থূপত ডাকটিকটবোৰ প্ৰদৰ্শন কৰিব পাৰিব।

(vi) দুটাল বহীৰ দৈৰ্ঘ্য ক্ৰমে 64 ছেমি. আৰু 80 ছেমি. দুয়োডালৰ পৰা সমান দৈৰ্ঘ্যৰ টুকুৰা কাটি উলিয়াব লাগে। অৰ্থাৎ অকণো ৰৈ নোযোৱাকৈ দুয়োডাল বহীৰ পৰা কাটি উলিয়াব পৰা তেনে টুকুৰাৰ সর্বাধিক দৈৰ্ঘ্য কিমান হ’ব?

Answer:

ইয়াত,

64 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 2⁶

80 = 2 × 2 × 2 × 2 × 5 = 2⁴ × 5

গ. সা. উ. (HCF) = 2 × 2 × 2 × 2 = 16

∴ সর্বাধিক দৈৰ্ঘ্য কিমান হ’ব = 16cm

9. চাৰিটা অংকবিশিষ্ট আটাইতকৈ ডাঙৰ সংখ্যাটো নিৰ্ণয় কৰা, যিটো সংখ্যা 18, 24 আৰু 36 ৰে বিভাজ্য।

Answer:

ইয়াত,

18 = 2 × 3²

24 = 2³ × 3

36 = 2² × 3²

ল. সা. গু. (LCM) = 2³ × 3² = 8 × 9 = 72

আমি জানো,

চাৰিটা অংকবিশিষ্ট আটাইতকৈ ডাঙৰ সংখ্যাটো

= 9999

এতিয়া,

9999 ÷ 72 = 138 আৰু অৱশিষ্ট/ বাকী সংখ্যাটো = 63

আকৌ, 9999 - 63 = 9936

∴ 18, 24 আৰু 36 ৰে বিভাজ্য সংখ্যাটো হ'ব = 9936

পৰীক্ষা :

9936 ÷ 18 = 552

9936 ÷ 24 = 414

9936 ÷ 36 = 276

10. p আৰু q সংখ্যা দুটাৰ 1245 এটা উৎপাদক। তলত দিয়া কোনটো বিকল্প 1245 এটা উৎপাদক হ’ব

(i) p + q (ii) p - q

(iii) p × q (iv) p ÷ q

শুদ্ধ বিকল্পটো হ’ল —

(A) কেৱল (iii)

(B) কেৱল (i) আৰু (ii)

(D) (i), (ii), (iii), (iv) গোটেইকেইটা।

Answer: (C) কেৱল (i), (ii) আৰু (iii)

Note :

(i) p + q → 1245 ৰে বিভাজ্য ✔

(ii) p − q → 1245 ৰে বিভাজ্য ✔

(iii) p × q → 1245 ৰে বিভাজ্য ✔

(iv) p ÷ q → সদায় 1245 ৰে বিভাজ্য নহয় ✘

“1245 হৈছে p আৰু q ৰ এটা উৎপাদক।”

উৎপাদক মানে কি?

যদি কোনো সংখ্যা আন এটা সংখ্যাক সম্পূৰ্ণভাৱে ভাগ কৰে, তেন্তে ভাগফলটো পূৰ্ণ সংখ্যা হয়।

সেয়ে p আৰু q হৰণত সদায় পূৰ্ণ সংখ্যা নহ'বও পাৰে।

11. স্তম্ভ মিলোৱা

স্তম্ভ I

P) মৌলিক নাইবা যৌগিক কোনোটোৱেই নোহোৱা সংখ্যাটো হল

Q) একমাত্র, যুগ্ম মৌলিক সংখ্যাটো হল

R) 12, 15, 21 ৰ গ.সা.গু. হব

S) 2 আৰু 9 ৰ ল.সা.গু. হব

স্তম্ভ II

1. 18

2. 3

3. 2

4. 1

শুদ্ধ বিকল্প বাচি উলিওৱা—

P 4

Q 3

R 2

S 1

P 3

Q 2

R 1

S 4

P 2

Q 4

R 3

S 1

P 1

Q 2

R 3

S 4

Answer: A)

12. উক্তি (P) : দুটা ক্রমিক স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ গ.সা.উ 1

উক্তি (Q) : দুটা সহমৌলিক সংখ্যাৰ গ.সা.উ 1

শুদ্ধ বিকল্প বাচি উলিওৱা—

A) P সত্য, Q অসত্য

B) P অসত্য, Q সত্য

C) P আৰু Q দুয়োটাই সত্য

D) P আৰু Q দুয়োটাই অসত্য

Answer: C) P আৰু Q দুয়োটাই সত্য

13. দুটা ধনাত্মক সংখ্যা P আৰু Q ক এনেদৰে প্ৰকাশ কৰিব পাৰি P = ab² আৰু Q = a²b য'ত a আৰু b মৌলিক সংখ্যা। P আৰু Q ৰ ল.সা.গ হ’ব

A) a²b

B) a²b²

C) ab

D) ab²

Answer: B) a²b²

Note :

দিয়া আছে —

P = ab²

Q = a²b

LCM উলিয়াবলৈ প্ৰতিটো মৌলিক সংখ্যাৰ সর্বাধিক ঘাত ল’ব লাগে।

a ৰ সর্বাধিক ঘাত = a²

b ৰ সর্বাধিক ঘাত = b²

সেয়ে,

LCM = a²b²

14. P = 119; Q = 462; R = 105; S = 2310, সংখ্যা কেইটাৰ বাবে শুদ্ধ বিকল্পটো বাচি উলিয়াও যত P, Q, R আৰু S সংখ্যাৰ প্ৰতিটোৰে মৌলিক উৎপাদক সংখ্যা সাপেক্ষে ঊর্ধ্বক্রমত আছে।

A) P Q R S

B) P R Q S

C) Q P S R

D) R S P Q

Answer: B) P R Q S

Note :

প্ৰথমে প্ৰতিটো সংখ্যাৰ মৌলিক উৎপাদকৰ সংখ্যা উলিয়াওঁ।

P = 119

= 7 × 17

মৌলিক উৎপাদক সংখ্যা = 2

Q = 462

= 2 × 3 × 7 × 11

মৌলিক উৎপাদক সংখ্যা = 4

R = 105

= 3 × 5 × 7

মৌলিক উৎপাদক সংখ্যা = 3

S = 2310

= 2 × 3 × 5 × 7 × 11

মৌলিক উৎপাদক সংখ্যা = 5

এতিয়া ঊর্ধ্বক্রমত সাজাওঁ —

P (2), R (3), Q (4), S (5)

15. উক্তি (A) : 3 আৰু 10 সহ-মৌলিক সংখ্যা

যুক্তি (R) : a আৰু b সহ-মৌলিক হব যদিহে সিহঁতৰ 1 ৰ বাহিৰে কোনো সাধাৰণ উৎপাদক নাই।

শুদ্ধ বিকল্প বাচি উলিওৱা—

A) (A) আৰু (R) দুয়োটাই সত্য। যুক্তি (R), উক্তি (A) ৰ শুদ্ধ ব্যাখ্যা।

B) (A) আৰু (R) দুয়োটাই সত্য। যুক্তি (R), উক্তি (A) ৰ শুদ্ধ ব্যাখ্যা নহয়।

C) উক্তি (A) সত্য কিন্তু যুক্তি (R) অসত্য।

D) উক্তি (A) অসত্য কিন্তু যুক্তি (R) সত্য।

Answer:

A) (A) আৰু (R) দুয়োটাই সত্য। যুক্তি (R), উক্তি (A) ৰ শুদ্ধ ব্যাখ্যা।

Note :

সহ-মৌলিক সংখ্যা বুলিলে দুটা (বা অধিক) সংখ্যা বুজায় যিসকলৰ ১ ৰ বাহিৰে গ.সা.উ (HCF) নাই।

উদাহৰণ:

3 আৰু 10 → গ.সা.উ = 1 ⇒ সহ-মৌলিক

8 আৰু 15 → গ.সা.উ = 1 ⇒ সহ-মৌলিক

6 আৰু 9 → গ.সা.উ = 3 ⇒ সহ-মৌলিক নহয়

মনত ৰাখিবা: সহ-মৌলিক হ’বলৈ সংখ্যাবোৰ নিজেই মৌলিক (prime) হ’ব নেলাগে। মাত্ৰ সিহঁতৰ মাজত সাধাৰণ গুণনীয়ক (common factor) ১ৰ বাহিৰে নাথাকিলেই যথেষ্ট।

16. উৎপাদক বৃক্ষ পৰ্যবেক্ষণ কৰি প্ৰশ্নসমূহৰ উত্তৰ দিয়াঃ

বৃক্ষ :

x ÷ 3 = 1275

1275 ÷ 3 = 425

425 ÷ y = 85

85 ÷ 5 = z

(i) x ৰ মান

(A) 8325 (B) 3825

Answer: (B)

(ii) y ৰ মান

(A) 5 (B) 25

Answer: (A)

(iii) z ৰ মান

(A) 3 (B) 17

Answer: (B)

(iv) x + y + z ৰ মান

(A) 3842 (B) 3847

Answer: (B)

Note:

উৎপাদক বৃক্ষ পৰ্যবেক্ষণ কৰি—

85=5×z⇒z=17

425=y×85⇒y=5

1275=3×425 (fits the pattern)

x=3×1275=3825

গতিকে শুদ্ধ Options হ'ব :

(i) x = 3825 → (B)

(ii) y = 5 → (A)

(iii) z = 17 → (B)

(iv) x + y + z = 3825 + 5 + 17 = 3847 → (B)

17. শিক্ষাৰ সৈতে জড়িত এটা বেচৰকাৰী সংস্থাৰ দ্বাৰা পৰিচালিত আন্তঃবিদ্যালয় আলোচনা চক্ৰ এখনত অংশগ্ৰহণকাৰী সকল বিভিন্ন বিষয়ৰ শিক্ষাৰ্থী। বিজ্ঞান, ইংৰাজী আৰু গণিতত অংশগ্ৰহণকাৰীৰ সংখ্যা ক্ৰমে 60, 84 আৰু 108।

(i) প্ৰতিটো কোঠাত একে বিষয়ৰ সমান সংখ্যক অংশগ্ৰহণকাৰী বহিব পাৰিব। প্ৰতিটো কোঠাত সৰ্বোচ্চ কিমান সংখ্যক অংশগ্ৰহণকাৰী বহিব পাৰিব?

Answer:

60 = 2² × 3 × 5

84 = 2² × 3 × 7

108 = 2² × 3³

∵ গ.সা.উ. = 2² × 3 = 12

∴ প্ৰতিটো কোঠাত সৰ্বাধিক অংশগ্ৰহণকাৰী = 12 জন

Note:

(ii) অনুষ্ঠানটোৰ বাবে অতি কমেও কিমানটা কোঠাৰ প্ৰয়োজন হ’ব?

Answer:

= (60 ÷ 12) + (84 ÷ 12) + (108 ÷ 12)

= 5 + 7 + 9 = 21